一 问题的提出

中心城市竞争力的强弱，比较真实地反映了整个城市圈竞争力的强弱。改革开放以来，中国经济取得了长足的发展，但区域经济发展的不平衡状况却更加突出。反映在城市圈上，就是不同中心城市的竞争力强弱发生了变化。

城市是一个各种物质要素、能量要素、信息要素、结构要素、层次要素和功能要素构成的一个有机大系统。城市的人口集约、经济集约、科技文化集约，能有效推动城市各种生产要素市场的形成和发展。随着生产要素市场竞争的日益增加，产业发展所需的劳动力要素、资本要素、土地要素、管理人才要素，技术、信息要素的质量将得到提高，从而使产业的区际扩张和转移具备物质条件，并可能取得较高的收益，成为区域经济合作的外部推动力。

本文选取了中国的三大城市圈即长江三角洲、珠江三角洲、京津唐地区的中心城市，以及武汉、辽中地区等地共计12个国内中心城市，对各城市的经济、商业服务业、基础设施、科教文卫方面共36个指标的数据用主成分分析法进行研究，得出各个城市的发达程度即竞争力。

二 分析方法

1.主成分分析法

在实际问题中，研究多指标（变量）问题是经常遇到的，在多数情况下，不同指标之间都具有一定相关性。由于指标较多再加上指标之间有一定的相关性，增加了分析问题的复杂性，主成分分析就是将原来指标重新合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来的指标，同时根据实际需要从中选取较少的几个主分量，使它们尽可能多地反映原来指标的信息，且彼此间不相关。主成分分析常被用来寻找判断某种事物或现象的综合指标，并给综合指标所蕴藏的信息以恰当的解释，以便更深刻的揭示事物内在的规律。通常的处理方法是：将原来p个指标作线性组合，作为新的综合指标。作线性组合基于两种原因：①数学上容易处理；②在实践中的效果很好。

主成分的数学模型为：

其中：（1）F_i与F_j（i≠j，i，j=1，…，p）不相关；

（2）F₁是X₁X₂…X_p的一切线性组合中方差最大的，F₂是与F₁不相关的X₁X₂…X_p一切线性组合中方差最大的，…，F_p是与F₁，F₂，…，F_p-1都不相关的X₁X₂…X_p的一切线性组合中方差最大的。

根据上述原则确定的变量F₁F₂…F_p依次成为原有变量X₁X₂…X_p的第1、第2、…、第p个主成分，其中F₁在总方差中所占比例最大，它综合原有X₁X₂…X_p的能力最强，其余主成分F₂F₃…F_p在总方差中所占比例依次递减，即其余主成分F₂F₃…F_p综合原有变量X₁X₂…X_p的能力依次减弱。在主成分分析的实际应用中，一般只选取前面几个方差较大的主成分，这样既减少了变量的数目，又能够用较少的主成分反映原有变量的绝大部分信息。

主成分数学模型的系数求解步骤：

①将原有变量数据进行标准化处理；

②计算变量的简单相关系数矩阵R；

③求相关系数矩阵R的特征根 及对应的单位特征向量μ₁，μ₂，μ₃，…，μ。

通过上述步骤，计算F_i=μ′_iX便得到各个主成分。其中的p个特征根和对应的特征向量便是因子分析的初始解。

2.因子分析

因子分析是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类。因子分析的内容十分丰富，常用的两种类型：R型因子分析（对变量作因子分析）和Q型因子分析（对样品作因子分析）。因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，这少数几个随机变量是不可观测的，称为因子。然后根据相关性（或相似性）的大小把变量（或样品）分组，使得组内的变量（或样品）之间相关性较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。这里是对变量作因子分析，因此选择R型因子分析。R型因子分析的数学模型为：

其中X=（X₁，...，X_p）′是可实测的p个指标所构成的p维随机向量，F=（F₁，...，F_m）′是不可观测的向量，F称为X的公共因子。

3.主成分分析和因子分析的联系

因子分析的关键是根据样本数据求解因子载荷矩阵，因子载荷矩阵的求解方法有基于主成分分析法、基于因子分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法、映象分析法