季节波动中的“季节”一词是广义的，它不仅仅是指一年中的四季，而是指一种周期性变化，其反复的循环周期是比较短的。在现实生活中，季节波动是一种极为普遍的现象，它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素作用的结果（袁卫，贾俊平和金勇进等，1996）。本章应用“方向数据”统计方法，分析1998至2004年货运量、居民消费价格总指数、社会消费品零售总额、出口总额和进口总额以及1999至2004年工业增加值等各指标各年的月度数据。通过均匀性检验和Von Mises分布的检验确定分布类型，分析不同分布类型下经济指标的波动特征，从理论上探讨季节波动的成因，并指出有良性规律的季节波动是实现经济既稳定又较快增长的保证。

一 统计工具

表示角度或方向随机试验结果的数据称为方向数据。它是定义在闭域（0°，360°）［弧度制下是（0，2π）］的随机变量。由于（0°，360°）的角与单位圆上的点（cosθ，sinθ）一一对应，所以又称方向数据为圆上随机变量。有些表现形式不是角度或方向的量可以通过适当的变换，化为方向数据。在这些量中最常见的是时间数据，例如一天的每个小时对应15°角的区间，一年的每个月近似对应30°角的区间。下面，我们首先说明本章所涉及的方向数据统计的主要内容。

（一）Von Mises分布

Von Mises分布记为M（μ₀，k），它在方向数据中的重要地位相当于正态分布在平面上随机变量的地位。方向数据统计参数估计和假设检验大多以Von Mises分布为前提。单峰Von Mises分布的密度函数是

式中0＜θ≤2π，0＜μ₀≤2π，k≥0，I₀（k）为修正的第一类零阶Bessel函数（王竹溪和郭敦仁，2000）。

（1）式中的μ₀是位置参数，k是尺度参数。k＞0时，（1）式的图形是单峰的，关于μ₀对称。k越大，图形越呈尖峭状，越向μ₀的邻近集中。k=0时，Von Mises分布称为均匀分布，密度函数是

（二）样本统计量

记与方向数据θ对应的单位圆周上的点为P（i=1，2，…，n），定义向量OP₁，OP₂…OP的合向量方向 为θ₁，θ₂，…θ的平均方向。记

称 是合向量的平均长度， 是合向量的长度。而 是方程组（4）的解。

θ（i=1，2，…，n）关于 的综合偏离称为圆上方差S₀。 ，0≤S₀≤1。

对于分组数据， 和 由

求得。式中n是数据个数，m是分组数，f_i是θ在第i组的频数，θ′_i是第i组的组中值。

（三）均匀性检验

本章采用Hodges-Ajne检验方法（Hodges，1955）进行方向数据的均匀性检验。该检验H₀：总体服从均匀分布；H₁：总体不服从均匀分布。对于分组数据，该检验将（0°，360°］等分为偶数r=2k个部分，总共n个方向数据落入各部分的个数记为f₁，f₂，…，f_r，又记

在计算中应注意：（6）式中的j+i取（mod r）。

设： ，

因为A+A=n和n≥2m，所以 ，当B大到一定程度时H₀不成立。

David和Newell（1965）给出统计 以及相应检验的拒绝域m^*≥m₀^*的临界值如表12-1。

表12-1 P（m^*≥m^*₀）=α

（四）单峰Von Mises分布的检验

本章应用拓广到方向数据统计的χ²拟合优度检验方法（李元生，1998），对于不服从均匀分布的方向数据进行是否服从单峰Von Mises分布M（μ₀，k）（k≠0）的假设检验。当μ₀和k未知时，它们的极大似然估计和矩估计一致，为 ，而 由 求得，其中A（·）为修正的第一类Bessel函数一阶值与零阶值之比，即A（·）=I₁（·）/I₀（·）。

二 统计推断与季节波动特征

依国家统计局公布的中国国民经济主要指标月度数据（刊于《中国统计》月刊），取货运量（亿吨）、居民消费价格总指数（%）、社会消费品零售总额（亿元）、出口总额（亿美元）、进口总额（亿美元）和工业增加值（亿元）等六项经济指标，其中前五项样本期为1998至2004年，第六项工业增加值为1999至2004年。经对原始数据初步处理后，将上述指标各年的月度数据作为该月的频数，同时将一年的各月近似地方向化：1月对应（0°，30°），组中值15°；2月对应（30°，60°），组中值45°，…，12月对应（330°，360°），组中值345°。按本章前述的方向数据统计方法进行统计推断，根据统计推断结论可将上述六项经济指标的季节波动状况归结为以下三种类型。

类型一：货运量和居民消费价格总指