河北省环抱首都北京，东与天津毗连，并紧傍渤海，东南部、南部与山东、河南两省接壤，西部与山西为邻，西北部、北部与内蒙古自治区交界，东北部与辽宁接壤。河北省简称冀，因处于黄河下游以北而得名。河北省下辖11个地级市、23个县级市、108个县、6个自治县、39个市辖区。截至2014年末，河北省总人口为7384万，总面积为197693平方公里。

一 指数研究的重要意义

“京津冀一体化”自提出至今已有十多年了，但是到目前为止，京津冀地区经济一体化的进程还处于初始阶段，地区经济一体化的效益没有被完全挖掘出来，还没有形成像长三角、珠三角那样的城市群。

作为京津冀地区重要组成部分的河北省，由于主客观原因，其经济发展过程中还存在许多亟待解决的问题，只有加快发展，缩小与京津两地的差距，才能使京津冀地区成为中国经济增长的第三极。而河北发展指数的测度能使我们了解河北省经济发展的成绩与存在的问题，为该省经济实现稳定发展提供一定的技术支持。

二 体系构建与测度方法

（一）河北综合发展指标体系的构建

按照目的性、科学性原则，并考虑数据的可获取性和准确性，共选定32个指标来测度河北综合发展指数，具体指标见表1。

表1 河北综合发展指标体系

续表

（二）测度方法的选择

我们采用因子分析法对河北综合发展指数进行测度。因子分析法是指在主成分的基础上构筑若干意义较为明确的公因子，以它们为框架分解原变量，以此考察原变量间联系与区别的一种综合评价方法。从本质上看，就是寻找公因子的模型分析方法。由于因子分析法可用于对被评价对象进行综合评价，所以它也是一种把多个变量合并为少数几个综合变量的多变量分析方法。

1.因子分析的基本原理

因子分析是指在尽可能不损失信息或少损失信息的前提下，将多个变量减少为几个潜在的因子，这几个因子可以高度概括大量数据中的信息，即既能减少变量个数，又能再现变量之间的内在联系。

因子模型为：

设有p个指标x₁，x₂，…，x_p，且每个指标都已标准化，即每个指标的样本均值为0，方差为1。因子分析最简单的数学模型为如下形式的线性方程组模型：

2.数据的标准化处理

由于不同变量之间存在不同量纲、不同数量级的情况，为使各个变量具有可比性，使数据进行分析后得到的结果具有可参考性，需要将所有指标进行标准化处理。我们采用的标准化公式为：

其中：z_ij为标准化后的变量值；x_ij为实际变量值；x_i为平均数；s_i为标准差。

因为数据量大，故无法一一排列。

3.因子分析

（1）适应性检验

进行因子分析之前，需要满足因子分析的前提条件。该条件可从两个指标反映出来：KMO值和Bartlett球形检验值，一般有一个通过检验就表明数据适合做因子分析。其中，KMO值取值在0～1，大于0.5表明适合做因子分析。此外，Bartlett球形检验值用以检验题项间的相关系数是否显著，如果显著（Sig.＜0.05）则适合做因子分析。本文所选数据检验结果见表2，检验结果表明所选数据适合用因子分析法。

表2 适应性检验

（2）主因子个数确定

采用主成分分析法（Principal Factor Analysis）进行分析，抽取特征值大于1的因子。表3显示，特征值大于1的公共因子有3个，因子的总方差解释率为94.5%，认为它们涵盖了大部分指标信息。因此，选取前三个因子作为公共因子。

表3 解释的总方差

图1 因子分析碎石分布

碎石图结果表明，前面3个因子特征值大于1，且下降趋势陡峭，从第4个因子开始，特征值小于1，且下降趋势变得平缓，因此认为可选取前面3个因子作为公共因子。

（3）因子旋转

为了更多地提取原始变量信息，使因子负荷矩阵里的数据更加有区分度，对因子负荷矩阵进行最大方差旋转，得到正交变换后的因子载荷矩阵（见表4）。

表4 旋转成分矩阵

续表

从旋转后的因子负荷矩阵中我们可以观察到各个主因子的经济含义及原始变量与其数量关系。主因子F₁主要由原始变量x₁～x₂₅这25个指标决定，从表3中可以看出，主因子F₁对全部变量的方差贡献率达到83.4%。主因子F₂主要由原始变量x₂₆～x₂₉这4个指标决定，主因子F₂对全部变量的方差贡献率为7.6%，在因子重要性排名中排第二位；主因子F₃主要由原始变量x₃₀～x₃₂这3个指标决定，方差贡献率为3.5%。

（4）计算因子得分

将原始变量写成用公共因子线性表示的